3. Упростите выражение: 1) $\left(\frac{a+2}{a-2}+\frac{a-2}{a+2}\right):\frac{a^2+4}{4-a^2}$; 2) $\left(\frac{a^2}{a+5}-\frac{a^3}{a^2+10a+25}\right):\left(\frac{a}{a+5}-\frac{a^2}{a^2-25}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Упростите выражение: 1) $\left(\frac{a+2}{a-2}+\frac{a-2}{a+2}\right):\frac{a^2+4}{4-a^2}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

1)

Сложим дроби в первых скобках:

$\frac{a+2}{a-2}+\frac{a-2}{a+2}=\frac{(a+2)^2+(a-2)^2}{a^2-4}=\frac{2a^2+8}{a^2-4}=\frac{2(a^2+4)}{a^2-4}.$

Деление заменим умножением на обратную дробь:

$\frac{2(a^2+4)}{a^2-4}\cdot\frac{4-a^2}{a^2+4}=-2.$

В исходном выражении требуется $a\ne2$ и $a\ne-2$.

2)

Разложим знаменатели на множители и упростим каждую скобку:

$\frac{a^2}{a+5}-\frac{a^3}{a^2+10a+25}=\frac{a^2(a+5)-a^3}{(a+5)^2}=\frac{5a^2}{(a+5)^2}.$

$\frac{a}{a+5}-\frac{a^2}{a^2-25}=\frac{a(a-5)-a^2}{(a+5)(a-5)}=\frac{-5a}{(a+5)(a-5)}.$

Разделим первую скобку на вторую:

$\frac{5a^2}{(a+5)^2}:\frac{-5a}{(a+5)(a-5)}=\frac{5a^2}{(a+5)^2}\cdot\frac{(a+5)(a-5)}{-5a}=-\frac{a(a-5)}{a+5}=\frac{a(5-a)}{a+5}.$

В исходном выражении требуется $a\ne-5$, $a\ne5$; кроме того, делитель не должен равняться нулю, поэтому $a\ne0$.

Ответ: 1) $-2$; 2) $\frac{a(5-a)}{a+5}$.

3. Упростите выражение: 1) \(\left(\frac{a+2}{a-2}+\frac{a-2}{a+2}\right):\frac{a^2+4}{4-a^2}\); 2) \(\left(\frac{a^2}{a+5}-\frac{a^3}{a^2+10a+25}\right):\left(\frac{a}{a+5}-\frac{a^2}{a^2-25}\right)\).