3. Упростите выражение: (2³ · 2⁴) / (2² · 2⁷)

Задание 3. Упрощение выражения со степенями

Выражение: \( \frac{2^3 \cdot 2^4}{2^2 \cdot 2^7} \)

Для упрощения воспользуемся свойствами степеней:

• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
• При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

Сначала упростим числитель:

\[ 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 \]

Теперь упростим знаменатель:

\[ 2^2 \cdot 2^7 = 2^{2+7} = 2^9 \]

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

\[ \frac{2^7}{2^9} \]

Применим правило деления степеней:

\[ 2^{7-9} = 2^{-2} \]

Отрицательная степень означает, что основание нужно взять в знаменателе:

\[ 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \]

Ответ: \( \frac{1}{4} \).