3. Упростите выражение (2/(x^2-4) + 1/(2x-x^2)) : (1/(x^2+4x+4)).

Задание 3. Упрощение выражения

Нужно упростить следующее выражение:

\[ \left( \frac{2}{x^2 - 4} + \frac{1}{2x - x^2} \right) : \frac{1}{x^2 + 4x + 4} \]

Шаг 1: Разложим знаменатели на множители.

Первая дробь:

• Знаменатель \( x^2 - 4 \) — это разность квадратов, раскладывается как \( (x - 2)(x + 2) \).
• Знаменатель \( 2x - x^2 \) можно вынести \( x \) за скобки: \( x(2 - x) \). Чтобы привести к общему множителю \( (x - 2) \), вынесем минус из скобок: \( -x(x - 2) \).

Вторая дробь:

• Знаменатель \( x^2 + 4x + 4 \) — это полный квадрат, раскладывается как \( (x + 2)^2 \).

Теперь выражение выглядит так:

\[ \left( \frac{2}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{1}{-x(x - 2)} \right) : \frac{1}{(x + 2)^2} \]

Шаг 2: Приведём дроби в скобках к общему знаменателю.

Общий знаменатель для \( (x - 2)(x + 2) \) и \( -x(x - 2) \) будет \( -x(x - 2)(x + 2) \).

• Первую дробь умножаем на \( -x \): \( \frac{2 \cdot (-x)}{(x - 2)(x + 2) \cdot (-x)} = \frac{-2x}{-x(x - 2)(x + 2)} \)
• Вторую дробь умножаем на \( (x + 2) \): \( \frac{1 \cdot (x + 2)}{-x(x - 2) \cdot (x + 2)} = \frac{x + 2}{-x(x - 2)(x + 2)} \)

Сложим дроби в скобках:

\[ \frac{-2x + (x + 2)}{-x(x - 2)(x + 2)} = \frac{-2x + x + 2}{-x(x - 2)(x + 2)} = \frac{-x + 2}{-x(x - 2)(x + 2)} \]

Обратите внимание, что \( -x + 2 \) равно \( -(x - 2) \). Сократим \( (x - 2) \):

\[ \frac{-(x - 2)}{-x(x - 2)(x + 2)} = \frac{-1}{-x(x + 2)} = \frac{1}{x(x + 2)} \]

Шаг 3: Выполним деление.

Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:

\[ \frac{1}{x(x + 2)} : \frac{1}{(x + 2)^2} = \frac{1}{x(x + 2)} \cdot \frac{(x + 2)^2}{1} \]

Сократим \( (x + 2) \):

\[ \frac{1}{x \cancel{(x + 2)}} \cdot \frac{(x + 2)^{\cancel{2}}}{1} = \frac{x + 2}{x} \]

Шаг 4: Представим результат в более простом виде.

\[ \frac{x + 2}{x} = \frac{x}{x} + \frac{2}{x} = 1 + \frac{2}{x} \]

Ответ: 1 + 2/x