3. Упростите выражение: а) $\left(\frac{x}{x+1}-\frac{x}{x-1}\right):\frac{6x}{x^2-1}$; б) $\left(\frac{1}{4a^2}-\frac{1}{ab}+\frac{1}{b^2}\right)\cdot\left(\frac{1}{2a-b}-\frac{1}{b-2a}\right)-\frac{1}{ab^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Упростите выражение: а) $\left(\frac{x}{x+1}-\frac{x}{x-1}\right):\frac{6x}{x^2-1}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Преобразуем разность в скобках:

$\frac{x}{x+1}-\frac{x}{x-1}=\frac{x(x-1)-x(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{-2x}{x^2-1}.$

Деление заменяем умножением на обратную дробь:

$\frac{-2x}{x^2-1}\cdot\frac{x^2-1}{6x}=-\frac{1}{3}.$

ОДЗ: $x\ne -1,0,1$.

Ответ: а) $-\frac{1}{3}$.

б) Сначала упростим вторые скобки, учитывая, что $b-2a=-(2a-b)$:

$\frac{1}{2a-b}-\frac{1}{b-2a}=\frac{1}{2a-b}+\frac{1}{2a-b}=\frac{2}{2a-b}.$

В первых скобках приведём дроби к общему знаменателю $4a^2b^2$:

$\frac{1}{4a^2}-\frac{1}{ab}+\frac{1}{b^2}=\frac{b^2-4ab+4a^2}{4a^2b^2}=\frac{(2a-b)^2}{4a^2b^2}.$

Перемножим скобки и вычтем последний член:

$\frac{(2a-b)^2}{4a^2b^2}\cdot\frac{2}{2a-b}-\frac{1}{ab^2}=\frac{2a-b}{2a^2b^2}-\frac{1}{ab^2}=\frac{2a-b-2a}{2a^2b^2}=-\frac{1}{2ab}.$

ОДЗ: $a\ne0$, $b\ne0$, $2a-b\ne0$.

Ответ: б) $-\frac{1}{2ab}$.

3. Упростите выражение: а) \(\left(\frac{x}{x+1}-\frac{x}{x-1}\right):\frac{6x}{x^2-1}\); б) \(\left(\frac{1}{4a^2}-\frac{1}{ab}+\frac{1}{b^2}\right)\cdot\left(\frac{1}{2a-b}-\frac{1}{b-2a}\right)-\frac{1}{ab^2}\).