3. Упростите выражение: a) $$\sin(\frac{3}{2}\pi - \alpha) - \cos(\pi + \alpha)$$; б) $$\operatorname{tg}(\pi + \alpha) + \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha)$$; в) $$\sin 2\alpha + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2$$; г) $$\frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} - \frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha}$$. 4. Докажите тождество: $$\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} - \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = \cos \alpha$$. 5. Решите уравнение: a) $$\sin 2x = 1$$; б) $$\cos x \cdot \cos 2x + \sin x \cdot \sin 2x = 0$$; в) $$\cos^2 x = \cos 2x$$.

Question

Вопрос:

3. Упростите выражение: a) $$\sin(\frac{3}{2}\pi - \alpha) - \cos(\pi + \alpha)$$; б) $$\operatorname{tg}(\pi + \alpha) + \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha)$$; в) $$\sin 2\alpha + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2$$; г) $$\frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} - \frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha}$$. 4. Докажите тождество: $$\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} - \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = \cos \alpha$$. 5. Решите уравнение: a) $$\sin 2x = 1$$; б) $$\cos x \cdot \cos 2x + \sin x \cdot \sin 2x = 0$$; в) $$\cos^2 x = \cos 2x$$.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

3. Упростите выражения:

а)
Для упрощения выражения $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) - \cos(\pi + \alpha) $ используем формулы приведения:
- $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha $
- $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha $
Подставляем полученные значения:
$ -\cos \alpha - (- \cos \alpha) = -\cos \alpha + \cos \alpha = 0 $
Ответ: 0.
б)
Упростим выражение $ \operatorname{tg}(\pi + \alpha) + \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) $, используя формулы приведения:
- $ \operatorname{tg}(\pi + \alpha) = \operatorname{tg} \alpha $
- $ \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \operatorname{tg} \alpha $
Подставляем:
$ \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \alpha = 2 \operatorname{tg} \alpha $
Ответ: $ 2 \operatorname{tg} \alpha $.
в)
Раскроем скобки в выражении $ \sin 2\alpha + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 $:
$ \sin 2\alpha + (\sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) $
Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ и формулу двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $:
$ \sin 2\alpha + (1 - \sin 2\alpha) = \sin 2\alpha + 1 - \sin 2\alpha = 1 $
Ответ: 1.
г)
Приведём дроби к общему знаменателю в выражении $ \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} - \frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} $:
$ \frac{\cos \alpha (1 + \sin \alpha) - \cos \alpha (1 - \sin \alpha)}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} $
Раскроем скобки в числителе и используем формулу разности квадратов в знаменателе $ (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $:
$ \frac{\cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha - \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{2 \cos \alpha \sin \alpha}{\cos^2 \alpha} $
Сократим $ \cos \alpha $ и используем формулу двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $:
$ \frac{\sin 2\alpha}{\cos^2 \alpha} $
Ответ: $ \frac{\sin 2\alpha}{\cos^2 \alpha} $.

4. Докажите тождество:

Возьмём левую часть тождества $ \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} - \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha $ и упростим её:

$ \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\cos \alpha - \sin \alpha} - \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha $

Сократим $ (\cos \alpha - \sin \alpha) $:

$ \cos \alpha + \sin \alpha - \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha $

Заменим $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $:

$ \cos \alpha + \sin \alpha - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha $

Сократим $ \cos \alpha $:

$ \cos \alpha + \sin \alpha - \sin \alpha = \cos \alpha $

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

5. Решите уравнения:

а)
Решим уравнение $ \sin 2x = 1 $.
Общее решение для $ \sin y = 1 $ есть $ y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k $ — целое число.
Подставляем $ y = 2x $:
$ 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $
Разделим обе части на 2:
$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k $ — целое число.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
б)
Решим уравнение $ \cos x \cdot \cos 2x + \sin x \cdot \sin 2x = 0 $.
Используем формулу косинуса разности: $ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $.
В данном случае $ A = 2x $ и $ B = x $ (или наоборот, результат будет тот же).
$ \cos(2x - x) = 0 $
$ \cos x = 0 $
Общее решение для $ \cos x = 0 $ есть $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n $ — целое число.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
в)
Решим уравнение $ \cos^2 x = \cos 2x $.
Используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 $.
Подставим в исходное уравнение:
$ \cos^2 x = 2 \cos^2 x - 1 $
Перенесём члены уравнения:
$ 1 = 2 \cos^2 x - \cos^2 x $
$ 1 = \cos^2 x $
Это означает, что $ \cos x = 1 $ или $ \cos x = -1 $.
Если $ \cos x = 1 $, то $ x = 2\pi m $, где $ m $ — целое число.
Если $ \cos x = -1 $, то $ x = \pi + 2\pi m $, где $ m $ — целое число.
Оба случая можно объединить в одну формулу: $ x = \pi k $, где $ k $ — целое число.
Ответ: $ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.