Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
3. Упростите выражение (\frac{2}{x^2 - 4} + \frac{1}{2x - x^2}) : \frac{1}{x^2 + 4x + 4}
Ответ:
Краткое пояснение:
Логика решения: Для упрощения выражения необходимо привести дроби в скобках к общему знаменателю, выполнить сложение, а затем выполнить деление, умножив на обратную дробь.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Разложим знаменатели на множители.
\(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\)
\(2x - x^2 = x(2-x) = -x(x-2)\)
\(x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2\) - Шаг 2: Приведем дроби в скобках к общему знаменателю.
Общий знаменатель для \(x^2 - 4\) и \(2x - x^2\) будет \(-x(x-2)(x+2)\).
\( \frac{2}{(x-2)(x+2)} + \frac{1}{-x(x-2)} = \frac{2(-x)}{-x(x-2)(x+2)} + \frac{1(x+2)}{-x(x-2)(x+2)} = \frac{-2x + x + 2}{-x(x-2)(x+2)} = \frac{-x+2}{-x(x-2)(x+2)} = \frac{-(x-2)}{-x(x-2)(x+2)} = \frac{1}{x(x+2)} \) - Шаг 3: Выполним деление.
Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь.
\( \frac{1}{x(x+2)} : \frac{1}{(x+2)^2} = \frac{1}{x(x+2)} \cdot \frac{(x+2)^2}{1} \) - Шаг 4: Упростим полученное выражение.
\( \frac{1}{x(x+2)} \cdot (x+2)^2 = \frac{(x+2)^2}{x(x+2)} = \frac{x+2}{x} \)
Ответ: \( \frac{x+2}{x} \)
