Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 3. Упростите выражение (\(\frac{4}{x^2-4}+\frac{1}{2-x}\))\(\cdot\)\(\frac{x^2+4x+4}{3}\).Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Приведём дроби в первой скобке к общему знаменателю. Заметим, что \( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \) и \( 2-x = -(x-2) \). Общий знаменатель — \( (x-2)(x+2) \).
  2. Преобразуем первую скобку: \( \frac{4}{(x-2)(x+2)} + \frac{1}{2-x} = \frac{4}{(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x-2} = \frac{4}{(x-2)(x+2)} - \frac{x+2}{(x-2)(x+2)} = \frac{4 - (x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{4 - x - 2}{(x-2)(x+2)} = \frac{2 - x}{(x-2)(x+2)} \).
  3. Заметим, что \( 2-x = -(x-2) \), поэтому: \( \frac{-(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{-1}{x+2} \).
  4. Упростим вторую дробь: \( x^2+4x+4 = (x+2)^2 \). Тогда \( \frac{x^2+4x+4}{3} = \frac{(x+2)^2}{3} \).
  5. Теперь перемножим упрощённые выражения: \( \frac{-1}{x+2} \cdot \frac{(x+2)^2}{3} \).
  6. Сократим \( x+2 \): \( \frac{-1 \cdot (x+2)}{3} \).
  7. Получаем: \( -\frac{x+2}{3} \).

Ответ: \(-\frac{x+2}{3}\).