3. Упростите выражение: $\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\cdot\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Упростите выражение: $\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\cdot\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)$.$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители: $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^2-4x+4=(x-2)^2$. Исходное выражение определено при $x\ne-2$ и $x\ne2$.

Сложим дроби в скобках:

$\frac{1}{(x-2)(x+2)}+\frac{1}{(x-2)^2}=\frac{x-2+x+2}{(x-2)^2(x+2)}=\frac{2x}{(x-2)^2(x+2)}.$

Подставим результат и сократим:

$\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\cdot\frac{2x}{(x-2)^2(x+2)}=\frac{x}{x+2}-\frac{x}{x+2}=0.$

Ответ: $0$, при $x\ne-2,2$.

3. Упростите выражение: \(\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\cdot\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)\).