3 Упростите выражение $$ \frac{y^2 - x^2}{x^2 + 3} \cdot \left( \frac{xy + 3}{x^2 - 2xy + y^2} + \frac{x}{x - y} \right) $$

Решение:

Заданное выражение:

\[ \frac{y^2 - x^2}{x^2 + 3} \cdot \left( \frac{xy + 3}{x^2 - 2xy + y^2} + \frac{x}{x - y} \right) \]

Упростим выражение в скобках. Заметим, что знаменатель первой дроби \( x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 \).

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю \( (x - y)^2 \):

\[ \frac{xy + 3}{(x - y)^2} + \frac{x(x - y)}{(x - y)^2} = \frac{xy + 3 + x^2 - xy}{(x - y)^2} = \frac{x^2 + 3}{(x - y)^2} \]

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\[ \frac{y^2 - x^2}{x^2 + 3} \cdot \frac{x^2 + 3}{(x - y)^2} \]

Сократим \( x^2 + 3 \):

\[ \frac{y^2 - x^2}{(x - y)^2} \]

Разложим числитель \( y^2 - x^2 \) как разность квадратов: \( y^2 - x^2 = -(x^2 - y^2) = -(x - y)(x + y) \).

Подставим это:

\[ \frac{-(x - y)(x + y)}{(x - y)^2} \]

Сократим \( (x - y) \):

\[ \frac{-(x + y)}{x - y} = \frac{x + y}{y - x} \]

Ответ: \( \frac{x + y}{y - x} \)