3. Упростите выражение \( \left( \frac{3}{9-x^2} + \frac{1}{x-3} \right) : \frac{x}{x^2-6x+9} \)

Решение:

Для упрощения выражения сначала приведём слагаемые в скобках к общему знаменателю. Общий знаменатель для \( 9-x^2 \) и \( x-3 \) будет \( 9-x^2 \), так как \( 9-x^2 = (3-x)(3+x) = -(x-3)(x+3) \).

1. Преобразуем первое слагаемое: \( \frac{3}{9-x^2} \).
2. Преобразуем второе слагаемое: \( \frac{1}{x-3} = \frac{-(x+3)}{(x-3)(-(x+3))} = \frac{-x-3}{-(x-3)(x+3)} = \frac{-x-3}{x^2-9} = \frac{x+3}{9-x^2} \).
3. Сложим слагаемые в скобках: \[ \frac{3}{9-x^2} + \frac{x+3}{9-x^2} = \frac{3 + x+3}{9-x^2} = \frac{x+6}{9-x^2} \].
4. Теперь выполним деление. Знаменатель \( x^2-6x+9 \) является полным квадратом \( (x-3)^2 \).
5. Выражение примет вид: \[ \frac{x+6}{9-x^2} : \frac{x}{(x-3)^2} \].
6. Деление на дробь равно умножению на обратную дробь: \[ \frac{x+6}{9-x^2} \cdot \frac{(x-3)^2}{x} \].
7. Разложим знаменатель \( 9-x^2 \) на множители: \( 9-x^2 = (3-x)(3+x) = -(x-3)(x+3) \).
8. Подставим разложение в выражение: \[ \frac{x+6}{-(x-3)(x+3)} \cdot \frac{(x-3)^2}{x} \].
9. Сократим \( x-3 \): \[ \frac{x+6}{-(x+3)} \cdot \frac{x-3}{x} = -\frac{(x+6)(x-3)}{x(x+3)} \].
10. Раскроем скобки в числителе: \( (x+6)(x-3) = x^2 - 3x + 6x - 18 = x^2 + 3x - 18 \).
11. Окончательный вид выражения: \[ -\frac{x^2+3x-18}{x(x+3)} = \frac{-x^2-3x+18}{x(x+3)} \].

Ответ: \( -\frac{x^2+3x-18}{x(x+3)} \).