3. Упростите выражение: $\left(\frac{a-3}{a^2-3a+9}-\frac{6a-18}{a^3+27}\right):\frac{5a-15}{4a^3+108}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Упростите выражение: $\left(\frac{a-3}{a^2-3a+9}-\frac{6a-18}{a^3+27}\right):\frac{5a-15}{4a^3+108}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим выражения на множители: $a^3+27=(a+3)(a^2-3a+9)$, $6a-18=6(a-3)$, $5a-15=5(a-3)$, $4a^3+108=4(a+3)(a^2-3a+9)$.

Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{a-3}{a^2-3a+9}-\frac{6(a-3)}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\frac{(a-3)(a+3)-6(a-3)}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\frac{(a-3)^2}{(a+3)(a^2-3a+9)}$.

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{(a-3)^2}{(a+3)(a^2-3a+9)}\cdot\frac{4(a+3)(a^2-3a+9)}{5(a-3)}=\frac{4(a-3)}{5}$.

В исходном выражении знаменатели не должны обращаться в ноль, а делитель должен быть отличен от нуля. Поэтому $a\ne-3$ и $a\ne3$.

Ответ: $\frac{4(a-3)}{5}$, где $a\ne-3,\;a\ne3$.

3. Упростите выражение: \(\left(\frac{a-3}{a^2-3a+9}-\frac{6a-18}{a^3+27}\right):\frac{5a-15}{4a^3+108}\).