3. Упростите выражения: $\frac{1}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}$; $\frac{3a^2+6}{a^3+1}-\frac{3}{a^2-a+1}-\frac{1}{a-1}$ (условие справа обрезано).

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Упростите выражения: $\frac{1}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}$;…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатель: $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Тогда
$\frac{1}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}=\frac{1-(x+2)-(x-2)}{x^2-4}=\frac{1-2x}{x^2-4}$, где $x\ne 2$ и $x\ne -2$.
Разложим сумму кубов: $a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)$. Первые две дроби дают
$\frac{3a^2+6}{(a+1)(a^2-a+1)}-\frac{3(a+1)}{(a+1)(a^2-a+1)}=\frac{3}{a+1}$.
Следовательно, всё выражение равно
$\frac{3}{a+1}-\frac{1}{a-1}=\frac{3(a-1)-(a+1)}{a^2-1}=\frac{2a-4}{a^2-1}$, где $a\ne -1,1$.
Правая часть условия после слова «если» на фото обрезана; для упрощения она не требуется.

Ответ: $\frac{1-2x}{x^2-4}$; $\frac{2a-4}{a^2-1}$.

3. Упростите выражения: \(\frac{1}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\); \(\frac{3a^2+6}{a^3+1}-\frac{3}{a^2-a+1}-\frac{1}{a-1}\) (условие справа обрезано).