3 В ∆ ABC ∠C = 90°, внешний угол при вершине B равен 150°, AA₁ - биссектриса, AA₁ = 20 см. Найдите A₁C.

Привет! Давай разберем эту задачку по геометрии вместе.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• Внешний угол при вершине B равен 150°.
• AA₁ — биссектриса.
• \[ AA_1 = 20 \text{ см} \]

Найти:

• \[ A_1C \]

Решение:

1. Найдем угол B: Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов. Также, внешний угол и смежный с ним внутренний угол в сумме дают 180°. Значит, внутренний угол при вершине B равен:

\[ \angle B = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \]

2. Найдем угол ∠BAC: В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

\[ \angle BAC = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \]

3. Угол, образованный биссектрисой: Биссектриса AA₁ делит угол ∠BAC пополам.

\[ \angle BAA_1 = \angle CAA_1 = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \]

4. Рассмотрим треугольник AA₁C: В этом треугольнике мы знаем угол ∠C = 90°. Также мы нашли, что угол ∠CAA₁ = 30°. Теперь найдем оставшийся угол:

\[ \angle AA_1C = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \]

5. Применим теорему синусов к треугольнику AA₁C: Теорема синусов гласит, что отношение стороны к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон треугольника.

\[ \frac{A_1C}{\sin(\angle BAA_1)} = \frac{AA_1}{\sin(\angle C)} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{A_1C}{\sin(30^{\circ})} = \frac{20}{\sin(90^{\circ})} \]

Мы знаем, что
\[ \sin(30^{\circ}) = 0.5 \]
и
\[ \sin(90^{\circ}) = 1 \].

\[ \frac{A_1C}{0.5} = \frac{20}{1} \]

\[ A_1C = 20 \times 0.5 \]

\[ A_1C = 10 \text{ см} \]

Ответ: 10 см.