3. В единичном тетраэдре MABC найдите площадь сечения, проходящего через вершины A, M и середину ребра BC.

Обозначим через P середину ребра BC. Сечение — треугольник AMP.

1. В равносторонних гранях ABC и MBC отрезки AP и MP — медианы. Поэтому AP = MP = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), так как все рёбра тетраэдра равны 1.
2. Ребро AM равно 1. Высота треугольника AMP, проведённая к основанию MP, делит его пополам. По теореме Пифагора её длина равна \(h=\sqrt{1^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{13}}{4}\).
3. Тогда площадь сечения: \(S_{AMP}=\frac12\cdot MP\cdot h=\frac12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{13}}{4}=\frac{\sqrt{39}}{16}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt{39}}{16}\) квадратных единиц.