3. В фирме работает 50 сотрудников, из них 40 человек владеют английским языком, а 20 — немецким. Выберите верные утверждения: 1) Каждый сотрудник, кто владеет английским, владеет и немецким. 2) Нет ни одного сотрудника, владеющего и английским, и немецким. 3) Хотя бы три сотрудника владеют английским, но не немецким. 4) Не более 20 сотрудников владеют и английским, и немецким.

Решение:

Обозначим:

• $$A$$ — множество сотрудников, владеющих английским языком.


• $$B$$ — множество сотрудников, владеющих немецким языком.


• $$|U| = 50$$ (общее число сотрудников).


• $$|A| = 40$$.


• $$|B| = 20$$.

По принципу включения-исключения:

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

Так как $$|A \cup B| \le |U|$$, то:

$$40 + 20 - |A \cap B| \le 50$$

$$60 - |A \cap B| \le 50$$

$$|A \cap B| \ge 60 - 50$$

$$|A \cap B| \ge 10$$

Следовательно, количество сотрудников, владеющих обоими языками, не менее 10.

Также, количество сотрудников, владеющих обоими языками, не может превышать меньшее из количеств владеющих каждым языком, то есть $$|A \cap B| \le \min(|A|, |B|) = \min(40, 20) = 20$$.

Таким образом, $$10 \le |A \cap B| \le 20$$.

Рассмотрим утверждения:

1. Каждый сотрудник, кто владеет английским, владеет и немецким. Это означает, что $$A \subseteq B$$, то есть $$|A \cap B| = |A| = 40$$. Это противоречит тому, что $$|A \cap B| \le 20$$. Утверждение неверно.


2. Нет ни одного сотрудника, владеющего и английским, и немецким. Это означает, что $$|A \cap B| = 0$$. Это противоречит тому, что $$|A \cap B| \ge 10$$. Утверждение неверно.


3. Хотя бы три сотрудника владеют английским, но не немецким. Количество сотрудников, владеющих только английским, равно $$|A| - |A \cap B|$$. Минимальное значение этого выражения достигается, когда $$|A \cap B|$$ максимально, то есть 20. Тогда $$|A| - |A \cap B| = 40 - 20 = 20$$. Максимальное значение достигается, когда $$|A \cap B|$$ минимально, то есть 10. Тогда $$|A| - |A \cap B| = 40 - 10 = 30$$. Так как минимальное количество сотрудников, владеющих только английским, равно 20, то утверждение, что хотя бы три таких сотрудника есть, верно.


4. Не более 20 сотрудников владеют и английским, и немецким. Это означает, что $$|A \cap B| \le 20$$. Мы установили, что $$10 \le |A \cap B| \le 20$$. Следовательно, это утверждение верно.

Ответ: Верные утверждения 3 и 4.