3. В каждом из 500 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что событие А происходит: точно 220 раз; меньше чем 240 и больше чем 180 раз.

Решение:

Это задача на применение теоремы Муавра-Лапласа для приближенного вычисления биномиального распределения, так как число испытаний (n=500) велико. Вероятность события A (p) = 0.4. Тогда вероятность ненаступления события A (q) = 1 - 0.4 = 0.6.

Математическое ожидание (среднее значение): μ = n * p = 500 * 0.4 = 200.

Среднеквадратичное отклонение (дисперсия): D = n * p * q = 500 * 0.4 * 0.6 = 120.

Среднеквадратичное отклонение: σ = √D = √120 ≈ 10.954.

а) Вероятность того, что событие А произойдет точно 220 раз:

P(X=220) ≈ 1 / σ * φ((220 - μ) / σ)

Где φ(x) — функция плотности стандартного нормального распределения.

x = (220 - 200) / 10.954 ≈ 1.826

По таблице значений функции Лапласа, φ(1.826) ≈ 0.0755.

P(X=220) ≈ (1 / 10.954) * 0.0755 ≈ 0.00689

б) Вероятность того, что событие А произойдет меньше чем 240 и больше чем 180 раз:

Это означает, что нам нужно найти вероятность P(180 < X < 240).

Применяем правило для интервалов: P(a < X < b) ≈ Φ((b - μ) / σ) - Φ((a - μ) / σ)

Где Φ(x) — функция интегрального распределения стандартного нормального распределения (функция Лапласа).

Рассчитываем z-значения:

• Для x = 240: z1 = (240 - 200) / 10.954 ≈ 3.652
• Для x = 180: z2 = (180 - 200) / 10.954 ≈ -1.826

Используем таблицу значений функции Лапласа Φ(x):

• Φ(3.652) ≈ 0.99986
• Φ(-1.826) ≈ 0.0339 (или 1 - Φ(1.826) ≈ 1 - 0.9661 = 0.0339)

Вычисляем вероятность:

• P(180 < X < 240) ≈ Φ(3.652) - Φ(-1.826) ≈ 0.99986 - 0.0339 ≈ 0.96596

Ответ: а) Приблизительно 0.0069; б) Приблизительно 0.9660