3. В каждом тесте ровно 25 вопросов. Для получения зачёта необходимо ответить правильно не менее чем на 20 вопросов. Студент знает ответы на 17 вопросов, а остальные ответы выбирает наугад из четырёх вариантов, среди которых только один правильный. Найдите вероятность того, что студент получит зачёт.

Чтобы получить зачёт, студенту нужно правильно ответить как минимум на \(20-17=3\) из 8 вопросов, ответы на которые он выбирает наугад.

Вероятность правильного ответа на каждый такой вопрос равна \(1/4\), неправильного — \(3/4\). Число случайно угаданных ответов имеет биномиальное распределение. Поэтому

\(P=\sum_{k=3}^{8}\binom{8}{k}\left(\frac14\right)^k\left(\frac34\right)^{8-k}\).

Удобнее вычесть вероятности угадать не более двух ответов:

\(P=1-\left[\left(\frac34\right)^8+8\cdot\frac14\left(\frac34\right)^7+\binom82\left(\frac14\right)^2\left(\frac34\right)^6\right]=\frac{163}{2048}\approx0.07959\).

Ответ: \(\frac{163}{2048}\approx0,0796\).