3. В мешке находится 28 белых перчаток и 31 чёрная перчатка. Перчатки достают из мешка парами. Если достали пару перча-ток одного цвета, то в мешок кладут чёрную перчатку. Если достали пару перчаток разного цвета, то в мешок кладут белую пер-чатку. Какого цвета окажется перчатка, которая останется в мешке последней?

Решение:

Рассмотрим, как меняется количество перчаток каждого цвета при каждой операции.

Всего перчаток: 28 белых + 31 чёрная = 59 перчаток.

Случай 1: Достали пару одного цвета (белую или чёрную).

• Если достали две белые перчатки, то в мешок кладут одну чёрную. Количество белых перчаток уменьшается на 2, чёрных — увеличивается на 1. Чистое изменение количества белых перчаток: -2.
• Если достали две чёрные перчатки, то в мешок кладут одну чёрную. Количество чёрных перчаток уменьшается на 2, затем увеличивается на 1. Чистое изменение количества чёрных перчаток: -1.

Случай 2: Достали пару разных цветов (одну белую и одну чёрную).

• Если достали одну белую и одну чёрную перчатку, то в мешок кладут одну белую. Количество белых перчаток уменьшается на 1 (извлекли) и увеличивается на 1 (положили) = 0. Количество чёрных перчаток уменьшается на 1.

Рассмотрим изменение чётности количества белых перчаток:

• В Случае 1 (пара одного цвета):
• Если достали 2 белые, то белых стало на 2 меньше. Чётность не изменилась (чётное - 2 = чётное, нечётное - 2 = нечётное).
• Если достали 2 чёрные, то белых не изменилось. Чётность не изменилась.
• В Случае 2 (пара разных цветов):
• Если достали 1 белую и 1 чёрную, то положили 1 белую. Было 2 белые, стало 2 белые (извлекли 1, положили 1). Чётность не изменилась.

Таким образом, чётность количества белых перчаток никогда не меняется.

Изначально в мешке 28 белых перчаток (чётное число).

Когда останется последняя перчатка, это будет означать, что все остальные перчатки были вынуты парами, и одна осталась. Если бы последняя перчатка была белой, то до этого момента должно было быть извлечено (28 - 1) = 27 белых перчаток. Это невозможно, так как белые перчатки всегда извлекаются либо парами (2 шт.), либо по одной (в случае разных пар, когда одна белая была вынута, а другая положена обратно).

Рассмотрим ещё раз: мы достаём пары. Всего 59 перчаток. Мы будем делать 29 операций (29 пар). В каждой операции извлекается 2 перчатки. Всего извлечётся 58 перчаток. Останется 1 перчатка.

Если мы достали пару одного цвета, то положили в мешок одну перчатку того же или другого цвета.

Ключевой момент: сколько бы мы ни доставали пар, количество белых перчаток либо уменьшается на 2 (если достали 2 белые), либо не меняется (если достали 2 чёрные), либо остаётся прежним (если достали 1 белую и 1 чёрную, а положили 1 белую).

Чётность количества белых перчаток сохраняется. Изначально 28 белых (чётное). Значит, в любой момент количество белых перчаток будет чётным.

Когда останется последняя перчатка, её не может быть 1 белая (так как 28 - 1 = 27, нечётное, что противоречит сохранению чётности).

Следовательно, последней останется чёрная перчатка.

Альтернативное рассуждение:

Пусть $$b$$ — количество белых перчаток, $$ч$$ — количество чёрных перчаток.

Изначально: $$b=28$$, $$ч=31$$.

1. Достали 2 белые: $$b \to b-2$$, $$ч \to ч+1$$. Изменение $$b$$: -2. Изменение $$ч$$: +1.

2. Достали 2 чёрные: $$b \to b$$, $$ч \to ч-2+1=ч-1$$. Изменение $$b$$: 0. Изменение $$ч$$: -1.

3. Достали 1 белую и 1 чёрную: $$b \to b-1+1=b$$, $$ч \to ч-1$$. Изменение $$b$$: 0. Изменение $$ч$$: -1.

В любом случае, количество белых перчаток либо уменьшается на 2, либо не меняется. То есть, чётность количества белых перчаток сохраняется. Поскольку изначально белых перчаток 28 (чётное число), то их количество всегда будет чётным.

Когда останется одна перчатка, количество белых перчаток может быть 0, 2, 4, ..., 26. Оно не может быть 1, так как 1 - нечётное число.

Следовательно, оставшаяся перчатка не может быть белой.

Ответ: Чёрного цвета.