3) В окружность центром О проведены радиусы ОА, OB и ОС так, что OB ⊥ AC и отрезки OB и АС пересекаются. Докажите, что AB = BC.

1. Так как OB ⊥ AC, то OB является высотой треугольника ABC.

2. Так как OA = OC (радиусы), треугольник AOC является равнобедренным. OB, будучи высотой в равнобедренном треугольнике, также является медианой и биссектрисой. Следовательно, OB делит AC пополам, то есть AO = OC.

3. Рассмотрим треугольники AOB и COB. Они прямоугольные (так как OB ⊥ AC), OA = OC (радиусы), и OB - общий катет. По теореме Пифагора, AB^2 = OA^2 - OB^2 и BC^2 = OC^2 - OB^2. Так как OA = OC, то AB^2 = BC^2, следовательно AB = BC.

Доказано.