3. В окружности с центром О проведены диаметр АС и радиус ОВ. Найдите ∠AOB, если ∠OBC = 42°.

Решение:

В окружности радиусы, проведённые к точкам на окружности, равны. Следовательно, \( OA = OB \) как радиусы. Треугольник \( \triangle AOB \) является равнобедренным.

Угол \( \angle OBC = 42^{\circ} \) — это угол при основании \( OB \) равнобедренного треугольника \( \triangle AOB \) (основанием в данном случае является сторона \( AB \), а \( OA=OB \)).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, \( \angle OAB = \angle OBA = \angle OBC = 42^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). В \( \triangle AOB \):

\( \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ} \)

\( \angle AOB + 42^{\circ} + 42^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle AOB + 84^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle AOB = 180^{\circ} - 84^{\circ} \)

\( \angle AOB = 96^{\circ} \)

Ответ: ∠AOB = 96°.