3. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорды АС и AD так, что ∠BAC = ∠BAD, ∠ABC = ∠DBA (рис. 63). Докажите, что АС = AD.

Доказательство:

• Рассмотрим треугольник ΔABC:
• Так как AB — диаметр, то угол ∠ACB, опирающийся на диаметр, равен 90° (вписанный угол).
• Таким образом, ΔABC — прямоугольный треугольник.
• По условию, ∠BAC = ∠BAD.
• Рассмотрим треугольник ΔABD:
• Аналогично, так как AB — диаметр, то угол ∠ADB, опирающийся на диаметр, равен 90° (вписанный угол).
• Таким образом, ΔABD — прямоугольный треугольник.
• По условию, ∠ABC = ∠DBA.
• Сравним треугольники ΔABC и ΔABD:
• Общий элемент: Сторона AB является общей для обоих треугольников.
• Углы:
• ∠BAC = ∠BAD (по условию).
• ∠ABC = ∠DBA (по условию).
• Признак равенства треугольников: По второму признаку равенства треугольников (угол-сторона-угол, УСУ), если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
• Следовательно, ΔABC = ΔABD (по двум углам и прилежащей стороне).
• Вывод:
• Если треугольники равны, то и их соответствующие стороны равны.
• Следовательно, сторона AC в ΔABC равна стороне AD в ΔABD.
• AC = AD.

Что и требовалось доказать.