№ 3. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорды АС и AD так, что ∠BAC = ∠BAD. Докажите, что АC = AD. (рис. 63).

Привет! Давай докажем это равенство.

Дано:

• Окружность с центром О.
• AB — диаметр.
• AC и AD — хорды.
• ∠BAC = ∠BAD.

Доказать: AC = AD.

Доказательство:

1. Рассмотрим △ABC. Так как AB — диаметр, то угол ∠ACB, опирающийся на диаметр, является вписанным и равен 90°. Следовательно, △ABC — прямоугольный треугольник.
2. Рассмотрим △ABD. Аналогично, так как AB — диаметр, то угол ∠ADB, опирающийся на диаметр, является вписанным и равен 90°. Следовательно, △ABD — прямоугольный треугольник.
3. У нас есть два прямоугольных треугольника: △ABC и △ABD.
4. У них общий катет AB (это диаметр окружности).
5. По условию задачи, ∠BAC = ∠BAD.
6. Рассмотрим △ABC и △ABD:
   • AB — общая сторона (гипотенуза для обоих треугольников).
   • ∠BAC = ∠BAD (по условию).
   • ∠ACB = ∠ADB = 90° (углы, опирающиеся на диаметр).
7. По второму признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу), △ABC = △ABD.
8. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон. Следовательно, AC = AD.

Что и требовалось доказать.