3. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорды АС и AD так, что ВАС= BAD(рис.63). Докажите, что AC=AD.

Дано:

• Окружность с центром О.
• АВ - диаметр.
• АС и AD - хорды.
• \(\angle BAC = \angle BAD\)

Доказать: AC = AD

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ABD\).

1. Углы при основании: Дано, что \(\angle BAC = \angle BAD\).
2. Общая сторона: Сторона AB является общей для обоих треугольников.
3. Прямые углы: Так как AB - диаметр, то углы \(\angle ACB\) и \(\angle ADB\) являются вписанными углами, опирающимися на диаметр. Следовательно, они прямые: \(\angle ACB = 90^{\circ}\) и \(\angle ADB = 90^{\circ}\).

Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника \(\triangle ABC\) и \(\triangle ABD\), у которых:

• Общий катет AB.
• Равные острые углы \(\angle BAC = \angle BAD\).

По признаку равенства прямоугольных треугольников (по острому углу и прилежащему катету), треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ABD\) равны.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

\(AC = AD\)

Что и требовалось доказать.