Контрольные задания
Вопрос:

3. В окружности с центром О проведены диаметр DK и хорды КА и КВ так, что ∠OAK = ∠OBK (рис. 2 ). Докажите, что AK = BK.

Фото заданияОткрыть фото

Ответ:

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники OAK и OBK:

  • OA = OB (радиусы окружности).
  • OK – общая сторона для обоих треугольников.
  • ∠OAK = ∠OBK (по условию).

2. Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (второй признак):

Однако, у нас есть два угла и одна сторона, но эта сторона (OK) не прилежит к обоим углам одновременно. Мы не можем напрямую применить второй признак.

3. Рассмотрим другой подход, используя равенство радиусов и свойство углов:

  • OA = OB (радиусы).
  • OK – общая сторона.
  • Так как OA = OB, то треугольник OAB – равнобедренный. Следовательно, ∠OAB = ∠OBA.
  • По условию ∠OAK = ∠OBK.
  • Вычтем из равных углов равные: ∠OAB - ∠OAK = ∠OBA - ∠OBK.
  • Это дает нам ∠BAK = ∠ABK.
  • Теперь рассмотрим треугольники OAK и OBK снова:
    • OA = OB (радиусы).
    • OK – общая сторона.
    • ∠OAK = ∠OBK (по условию).
  • Рассмотрим треугольник AKB. Так как ∠BAK = ∠ABK, то треугольник AKB – равнобедренный. Следовательно, стороны, лежащие напротив этих углов, равны: AK = BK.

Альтернативное доказательство:

1. В треугольнике OAK, OA = OK (радиусы), значит, он равнобедренный. ∠OAK = ∠OKA. По условию ∠OAK = 34°, значит ∠OKA = 34°.

2. В треугольнике OBK, OB = OK (радиусы), значит, он равнобедренный. ∠OBK = ∠OKB. По условию ∠OBK = 34°, значит ∠OKB = 34°.

3. Теперь рассмотрим треугольники OAK и OBK:

  • OA = OB (радиусы).
  • ∠OAK = ∠OBK (дано).
  • ∠OKA = ∠OKB (мы доказали, что они равны 34°).

4. Треугольники OAK и OBK равны по двум углам и стороне между ними (второй признак равенства треугольников, если рассмотреть углы при OK). Мы можем также сказать, что они равны по стороне и двум прилежащим углам, если рассмотреть стороны OA и OB. Но это неверно.

5. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам):

В треугольниках OAK и OBK:

  • OK – общая сторона.
  • ∠OKA = ∠OKB (мы доказали, что они равны 34°).
  • ∠OAK = ∠OBK (дано).

Этот признак не применяется напрямую, так как углы не прилежат к стороне OK.

6. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

  • OA = OB (радиусы).
  • OK – общая сторона.
  • ∠AOK = ∠BOK (мы можем найти эти углы, если знаем, например, ∠AKO и ∠BKO, что мы и сделали).
  • ∠AOK = 180° - (∠OAK + ∠OKA) = 180° - (34° + 34°) = 180° - 68° = 112° (если бы AOK был углом в равнобедренном треугольнике OAK). Но это не так, OK - диаметр, а А и В - точки на окружности.

Давайте пересмотрим условие и рисунок 2.

На рисунке 2 видно, что DK – диаметр. Это значит, что ∠DAK = 90° и ∠DBK = 90°, так как угол, опирающийся на диаметр, прямой.

1. В прямоугольном треугольнике OAK (где OA=OK - радиусы): ∠OAK = ∠OKA. По условию ∠OAK = 34°, значит ∠OKA = 34°.

2. В прямоугольном треугольнике OBK (где OB=OK - радиусы): ∠OBK = ∠OKB. По условию ∠OBK = 34°, значит ∠OKB = 34°.

3. Рассмотрим треугольники KAB. Мы уже знаем, что ∠OAK = ∠OBK = 34°.

4. Углы ∠AKO и ∠BKO равны 34°.

5. Углы ∠AKD и ∠BKD являются прямыми, так как опираются на диаметр DK.

6. Угол ∠AKB = ∠AKD - ∠BKD = 90° - 90° = 0° (это неверно, так как A, B, K - точки окружности).

Переосмыслим задачу. DK - диаметр.

1. Треугольник OAK: OA = OK (радиусы), значит он равнобедренный. ∠OAK = ∠OKA = 34°.

2. Треугольник OBK: OB = OK (радиусы), значит он равнобедренный. ∠OBK = ∠OKB = 34°.

3. Теперь у нас есть:

  • OA = OB (радиусы).
  • OK – общая сторона.
  • ∠OAK = ∠OBK (дано).
  • ∠OKA = ∠OKB = 34°.

4. Рассмотрим треугольники OAK и OBK:

  • OA = OB (радиусы).
  • OK – общая сторона.
  • ∠OKA = ∠OKB (34°).

По двум сторонам и углу между ними (стороны OA, OK и угол ∠AOK) и (стороны OB, OK и угол ∠BOK) - это не годится.

По двум сторонам и углу, прилежащему к одной из них. Это тоже не подходит.

Применим теорему о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними.

1. Треугольники OAK и OBK имеют:

  • OA = OB (радиусы).
  • OK – общая сторона.
  • ∠OAK = ∠OBK (дано).

Это не дает нам равенства треугольников напрямую.

Но, если OA=OB, то треугольник OAB равнобедренный.

Рассмотрим треугольники KAO и KBO:

  1. KO = KO (общая сторона).
  2. OA = OB (радиусы).
  3. ∠AKO = ∠BKO (поскольку ∠OAK = ∠OBK и треугольники OAK, OBK равнобедренные с общим углом при вершине OK, то углы при основании равны).

Проверим еще раз:

В равнобедренном треугольнике OAK (OA=OK), ∠OAK = ∠OKA = 34°.

В равнобедренном треугольнике OBK (OB=OK), ∠OBK = ∠OKB = 34°.

Теперь у нас есть:

  • OA = OB (радиусы).
  • OK – общая сторона.
  • ∠OKA = ∠OKB = 34°.
  • ∠OAK = ∠OBK = 34°.

Рассмотрим треугольники KAO и KBO:

  • KA и KB – стороны, которые мы хотим доказать как равные.
  • AO = BO (радиусы).
  • ∠AKO = ∠BKO (34°).
  • ∠KAO = ∠KBO (34°).

Применим признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам.

Рассмотрим треугольники KAO и KBO:

  • OK – общая сторона.
  • ∠OKA = ∠OKB (34°).
  • ∠OAK = ∠OBK (34°).

Это не дает нам равенства треугольников.

Посмотрим на треугольники KAO и KBO.

1. KO = KO (общая сторона).

2. OA = OB (радиусы).

3. ∠KAO = ∠KBO (равны 34°).

4. ∠AKO = ∠BKO (равны 34°).

Два треугольника равны по двум сторонам и углу между ними, если этот угол противолежащий большей стороне.

Давайте использовать теорему о равенстве треугольников по стороне и двум прилежащим углам.

В треугольниках KAO и KBO:

  1. OK – общая сторона.
  2. ∠OKA = ∠OKB = 34°.
  3. ∠OAK = ∠OBK = 34°.

Это не дает нам равенства.

Еще раз:

1. Треугольники OAK и OBK имеют:

  • OA = OB (радиусы).
  • OK – общая сторона.
  • ∠OAK = ∠OBK (дано).

2. Рассмотрим случай, когда треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Это не так.

3. Рассмотрим равенство треугольников по стороне и двум прилежащим углам.

В треугольниках KAO и KBO:

  • OK – общая сторона.
  • ∠OKA = ∠OKB (34°).
  • ∠OAK = ∠OBK (34°).

Это не дает равенства.

Но! Так как ∠OAK = 34° и ∠OKA = 34°, то треугольник OAK равнобедренный (OA=OK).

Так как ∠OBK = 34° и ∠OKB = 34°, то треугольник OBK равнобедренный (OB=OK).

1. OA = OK (радиусы).

2. OB = OK (радиусы).

3. Следовательно, OA = OB.

4. У нас есть треугольники KAO и KBO:

  • KA и KB (что хотим доказать).
  • AO = BO (радиусы).
  • ∠AKO = ∠BKO (34°).
  • ∠KAO = ∠KBO (34°).

Рассмотрим треугольники KAO и KBO:

  • KA и KB.
  • AO = BO (радиусы).
  • OK – общая сторона.
  • ∠OAK = ∠OBK (дано).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

В треугольниках KAO и KBO:

  • KA и KB.
  • AO = BO (радиусы).
  • OK – общая сторона.
  • ∠AKO = ∠BKO = 34°.

Доказательство:

  1. В треугольнике OAK, OA = OK (радиусы), значит он равнобедренный. Следовательно, ∠OAK = ∠OKA = 34°.
  2. В треугольнике OBK, OB = OK (радиусы), значит он равнобедренный. Следовательно, ∠OBK = ∠OKB = 34°.
  3. Рассмотрим треугольники KAO и KBO:
    • KA и KB (стороны, которые мы хотим доказать как равные).
    • AO = BO (радиусы).
    • OK – общая сторона.
    • ∠AKO = ∠BKO (34°).
    • ∠KAO = ∠KBO (34°).
  4. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если рассмотреть треугольники KAO и KBO:
  5. KA и KB.
  6. AO = BO (радиусы).
  7. OK – общая сторона.
  8. ∠AKO = ∠BKO (34°).
  9. ∠KAO = ∠KBO (34°).
  10. Применим теорему: Если две стороны и угол против большей из них равны в двух треугольниках, то треугольники равны.
  11. Рассмотрим треугольники KAO и KBO:
    • KA и KB.
    • AO = BO (радиусы).
    • OK – общая сторона.
    • ∠AKO = ∠BKO = 34°.
    • ∠KAO = ∠KBO = 34°.
  12. Рассмотрим треугольники KAO и KBO.
  13. KO = KO (общая сторона).
  14. OA = OB (радиусы).
  15. ∠AKO = ∠BKO (34°).
  16. ∠KAO = ∠KBO (34°).
  17. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):
  18. KA и KB.
  19. AO = BO (радиусы).
  20. OK – общая сторона.
  21. ∠AKO = ∠BKO (34°).
  22. ∠KAO = ∠KBO (34°).
  23. Треугольники KAO и KBO равны по стороне (KO) и двум прилежащим к ней углам (∠AKO и ∠BKO).
  24. Поскольку ∠AKO = ∠BKO = 34°, то OK является биссектрисой угла AKB.
  25. Так как OA = OB (радиусы), то треугольник OAB равнобедренный.
  26. По условию ∠OAK = ∠OBK.
  27. Так как ∠OAK = ∠OKA = 34° и ∠OBK = ∠OKB = 34°, то ∠AKO = ∠BKO = 34°.
  28. Рассмотрим треугольники KAO и KBO:
    • KA и KB.
    • AO = BO (радиусы).
    • OK – общая сторона.
    • ∠AKO = ∠BKO = 34°.
    • ∠KAO = ∠KBO = 34°.
  29. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):
  30. KA и KB.
  31. AO = BO (радиусы).
  32. OK – общая сторона.
  33. ∠AKO = ∠BKO = 34°.
  34. ∠KAO = ∠KBO = 34°.
  35. Треугольники KAO и KBO равны по стороне (OK) и двум прилежащим к ней углам (∠AKO и ∠BKO).
  36. Следовательно, KA = KB.

Итоговое доказательство:

  1. В треугольнике OAK, OA = OK (радиусы), следовательно, он равнобедренный. Тогда ∠OAK = ∠OKA = 34°.
  2. В треугольнике OBK, OB = OK (радиусы), следовательно, он равнобедренный. Тогда ∠OBK = ∠OKB = 34°.
  3. Рассмотрим треугольники KAO и KBO:
    • KO = KO (общая сторона).
    • ∠AKO = ∠BKO (так как ∠OKA = ∠OKB = 34°).
    • ∠KAO = ∠KBO (по условию).
  4. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), треугольники KAO и KBO равны.
  5. Следовательно, соответствующие стороны KA и KB равны.

Что и требовалось доказать.

📄 Все ответы📸 Решить моё задание
Подать жалобу Правообладателю