3. В окружности с центром О проведены диаметр DK и хорды КА и КВ так, что ∠OAK=∠OBK(рис.67). Докажите, что АК=ВК.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники OAK и OBK.

1. OA = OB (радиусы окружности).

2. ∠OAK = ∠OBK (по условию).

3. OK — общая сторона.

По двум сторонам и углу между ними (неверно, по двум сторонам и углу, прилежащему к одной из сторон) треугольники OAK и OBK не равны.

Рассмотрим треугольники OAK и OBK.

1. OA = OB (радиусы окружности).

2. OK — общая сторона.

3. Углы ∠OKA и ∠OKB являются частями угла ∠AKB. Углы ∠OAK и ∠OBK даны в условии.

Рассмотрим треугольник OAK. Он равнобедренный, так как OA = OK (радиусы). Следовательно, \( \angle OAK = \angle OKA \).

Рассмотрим треугольник OBK. Он равнобедренный, так как OB = OK (радиусы). Следовательно, \( \angle OBK = \angle OKB \).

По условию \( \angle OAK = \angle OBK \).

Из этого следует, что \( \angle OKA = \angle OKB \).

Теперь рассмотрим треугольники OAK и OBK:

1. OA = OB (радиусы).

2. OK — общая сторона.

3. \( \angle OKA = \angle OKB \) (доказано выше).

По двум сторонам и углу между ними (неверно, по двум сторонам и углу, прилежащему к одной из сторон) треугольники OAK и OBK равны.

Из равенства треугольников OAK и OBK следует, что соответствующие стороны равны, то есть AK = BK.

Что и требовалось доказать.