№3. В окружности с центром О проведены диаметр MN и хорда NK. Найдите ∠MKO, если ∠MNK = 18°.

Решение:

Треугольник \( \triangle MNK \) вписан в окружность. Так как \( MN \) является диаметром, то угол \( \angle MNK \) является вписанным углом, опирающимся на диаметр. Следовательно, \( \angle MNK = 18^{\circ} \) - это данный угол.

Угол \( \angle NKM \) опирается на диаметр \( MN \), поэтому он прямой, то есть \( \angle NKM = 90^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике \( \triangle MNK \) равна \( 180^{\circ} \). Найдем \( \angle MNK \): \( \angle MNK = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 18^{\circ} = 72^{\circ} \).

Треугольник \( \triangle MOK \) является равнобедренным, так как \( OM = OK \) (радиусы окружности). Угол \( \angle MOK \) является центральным углом, опирающимся на дугу \( MK \). Вписанный угол \( \angle MNK = 18^{\circ} \) опирается на ту же дугу \( MK \), поэтому \( \angle MOK = 2 \times \angle MNK = 2 \times 18^{\circ} = 36^{\circ} \).

В равнобедренном треугольнике \( \triangle MOK \) углы при основании \( MK \) равны. Найдем \( \angle MKO \): \( \angle MKO = \angle OMK = (180^{\circ} - \angle MOK) / 2 = (180^{\circ} - 36^{\circ}) / 2 = 144^{\circ} / 2 = 72^{\circ} \).

Ответ: 72°.