№ 3. В окружности с центром О проведены диаметр ОК и хорды КА и КD так, что ∠OAK = ∠OBK (рис. 67). Докажите, что AK = BK.

Дано:

• О — центр окружности.
• Диаметр ОК.
• Хорды КА и КD.
• \[ \angle OAK = \angle OBK \]

Доказать:

• \[ AK = BK \]

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник OAK.
• OB и OA — радиусы окружности.
• Следовательно, \[ \triangle OAK \] — равнобедренный.
• Углы при основании равны: \[ \angle OAK = \angle OKA \]
2. Рассмотрим треугольник OBK.
• OB и OK — радиусы окружности.
• Следовательно, \[ \triangle OBK \] — равнобедренный.
• Углы при основании равны: \[ \angle OBK = \angle OKB \]
3. Используем условие:
• Дано, что \[ \angle OAK = \angle OBK \].
• Из пунктов 1 и 2 мы знаем, что \[ \angle OAK = \angle OKA \] и \[ \angle OBK = \angle OKB \].
• Следовательно, \[ \angle OKA = \angle OBK \] (так как \[ \angle OAK = \angle OBK \]).
• А из этого следует, что \[ \angle OKA = \angle OKB \].
4. Сравним треугольники AKO и BKO:
• \[ OA = OB \] (радиусы).
• \[ OK \] — общая сторона.
• \[ \angle OAK = \angle OBK \] (дано).
• Следовательно, \[ \triangle OAK = \triangle OBK \] по двум сторонам и углу между ними (по второму признаку равенства треугольников).
• Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны, то есть \[ AK = BK \].

Что и требовалось доказать.