№ 3. В окружности с центром О проведены диаметр ОК и хорды КА и КВ так, что ∠OAK = ∠OBK (рис. 67). Докажите, что AK = BK.

Дано:

• О — центр окружности
• ДК — диаметр
• КА, КВ — хорды
• \[ \angle OAK = \angle OBK \]

Доказать:

• \[ AK = BK \]

Доказательство:

1. Рассмотрим \[ \triangle OAK \]. \[ OA = OK \] (радиусы), значит, \[ \triangle OAK \] — равнобедренный.
2. \[ \angle AKA \] = \[ \angle AKO \].
3. Рассмотрим \[ \triangle OBK \]. \[ OB = OK \] (радиусы), значит, \[ \triangle OBK \] — равнобедренный.
4. \[ \angle OBK = \angle OKB \].
5. Из условия задачи \[ \angle OAK = \angle OBK \].
6. Так как \[ \angle OAK = \angle AKA \] (из п. 2) и \[ \angle OBK = \angle OKB \] (из п. 4), то \[ \angle AKA = \angle OKB \].
7. \[ \angle OKB \] и \[ \angle AKB \] — это один и тот же угол.
8. \[ \angle AKA \] и \[ \angle BKA \] — это один и тот же угол.
9. \[ \angle AKO \] и \[ \angle BKO \] — это один и тот же угол.
10. \[ \angle OAK \] и \[ \angle OBK \] — это углы при основании в равнобедренных треугольниках \[ \triangle OAK \] и \[ \triangle OBK \] соответственно.
11. \[ \angle AKO = \angle OKB \] (из п. 3 и п. 4, так как \[ \angle OAK = \angle OBK \]).
12. \[ \angle AKO \] и \[ \angle BKO \] — один и тот же угол.
13. \[ \angle AKB = \angle AKO + \angle OKB \].
14. \[ \angle AKB \] - это угол, опирающийся на диаметр \[ DK \], значит \[ \angle AKB = 90^{\circ} \].
15. \[ \angle KAB \] = \[ \angle KOB \] (центральный угол).
16. \[ \angle KBA \] = \[ \angle KOA \] (центральный угол).
17. \[ \angle KAB \] = \[ \angle KBA \] (из условия \[ \angle OAK = \angle OBK \]).
18. Следовательно, \[ \triangle AKB \] — равнобедренный.
19. \[ AK = BK \].

Что и требовалось доказать.