3.В окружности с центром О проведены диаметры MN и РК (Рис.281). Докажите, что МК || PN.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники \( ∠MOK \) и \( ∠PON \).
2. \( MO \), \( OK \), \( PO \), \( ON \) являются радиусами окружности, поэтому \( MO = OK = PO = ON \).
3. Углы \( ∠MOK \) и \( ∠PON \) являются вертикальными углами, образованными пересечением диаметров \( MN \) и \( PK \). Следовательно, \( ∠MOK = ∠PON \).
4. По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), \( ∠MOK = ∠PON \).
5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \( MK = PN \).
6. Теперь рассмотрим треугольники \( ∠MOP \) и \( ∠KON \).
7. \( MO = OK \) (радиусы).
8. \( ∠MOP = ∠KON \) (вертикальные углы).
9. \( PO = ON \) (радиусы).
10. По двум сторонам и углу между ними, \( ∠MOP = ∠KON \).
11. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \( MP = KN \).
12. Мы имеем четырехугольник \( MKPN \). У него противоположные стороны равны: \( MK = PN \) и \( MP = KN \).
13. Четырехугольник, у которого противоположные стороны равны, является параллелограммом.
14. В параллелограмме противоположные стороны параллельны. Следовательно, \( MK ∥ PN \).

Доказано.