Контрольные задания > 3) В окружности с центром O проведены радиусы OA, OB и OC так, что OB ⊥ AC и отрезки OB и AC пересекаются. Докажите, что AB = BC.
Вопрос:

3) В окружности с центром O проведены радиусы OA, OB и OC так, что OB ⊥ AC и отрезки OB и AC пересекаются. Докажите, что AB = BC.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение:

Доказательство основано на рассмотрении треугольников, образованных радиусами и хордами, и использовании признаков равенства треугольников.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Рассмотрим треугольники △OAB и △OBC.
  2. Шаг 2: OA = OB = OC (как радиусы одной окружности).
  3. Шаг 3: OB является общей стороной для обоих треугольников.
  4. Шаг 4: Так как OB ⊥ AC, то ∠AOB и ∠COB не обязательно равны. Однако, мы знаем, что OB пересекает AC. Обозначим точку пересечения как M.
  5. Шаг 5: В △OAM и △OCM: OA = OC (радиусы), OM - общая сторона. Так как OB ⊥ AC, то ∠OMA = ∠OMC = 90°. По теореме Пифагора, AM^2 = OA^2 - OM^2 и CM^2 = OC^2 - OM^2. Поскольку OA=OC, то AM^2 = CM^2, и следовательно, AM = CM.
  6. Шаг 6: Теперь рассмотрим △OAB и △OBC: OA = OC (радиусы), OB - общая сторона, AM = CM (доказано в шаге 5).
  7. Шаг 7: По признаку равенства треугольников по трем сторонам (SSS), △OAB = △OBC.
  8. Шаг 8: Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB = BC.

Доказано.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю