3. В окружности с центром О провели диаметры MN и PK. Докажите, что MK || PN. (рис. 281)

Решение:

1. Рассмотрим треугольники MOK и PON.
2. OM = OK = OP = ON = R (радиус окружности).
3. \( \angle MOK = \angle PON \) как вертикальные углы.
4. Следовательно, \( \triangle MOK = \triangle PON \) по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).
5. Из равенства треугольников следует, что MK = PN.
6. Рассмотрим треугольники MOP и NOK.
7. OM = OP = ON = OK = R (радиус окружности).
8. \( \angle MOP = \angle NOK \) как вертикальные углы.
9. Следовательно, \( \triangle MOP = \triangle NOK \) по двум сторонам и углу между ними.
10. Из равенства треугольников следует, что MP = NK.
11. Рассмотрим треугольники MPK и PNK.
12. OK = ON (радиусы).
13. \( \angle POK = \angle PNK \) — вписанные углы, опирающиеся на дугу PK.
14. Угол MON — развернутый.
15. Рассмотрим треугольники MON и PKN.
16. Рассмотрим \( \triangle MOK \) и \( \triangle PON \). OM=ON=R, OK=OP=R. \( \angle MOK = \angle PON \) (вертикальные). Треугольники равны. MK = PN.
17. Рассмотрим \( \triangle MOP \) и \( \triangle NOK \). OM=ON=R, OP=OK=R. \( \angle MOP = \angle NOK \) (вертикальные). Треугольники равны. MP = NK.
18. Теперь докажем, что MK || PN.
19. Рассмотрим \( \triangle MON \) и \( \triangle POK \).
20. OM = ON = R, OP = OK = R.
21. \( \angle MOK \) и \( \angle PON \) — вертикальные.
22. \( \triangle MOK = \triangle PON \) по первому признаку равенства треугольников. MK = PN.
23. \( \triangle MOP = \triangle NOK \) по первому признаку равенства треугольников. MP = NK.
24. Рассмотрим \( \triangle MKP \) и \( \triangle PNM \).
25. MK = PN (доказано). MP = NK (доказано). MN — общая сторона.
26. \( \triangle MKP = \triangle PNM \) по третьему признаку равенства треугольников.
27. Из равенства треугольников следует, что \( \angle KMP = \angle MPN \).
28. Эти углы являются накрест лежащими при прямых MK и PN и секущей MN.
29. Так как накрест лежащие углы равны, то MK || PN.
30. Альтернативное доказательство:
31. \( \angle MOK = \angle PON \) (вертикальные).
32. \( \angle MOK \) — центральный угол, опирающийся на дугу MK.
33. \( \angle PON \) — центральный угол, опирающийся на дугу PN.
34. Если \( \angle MOK = \angle PON \), то дуги MK и PN равны.
35. \( \angle MPN \) — вписанный угол, опирающийся на дугу MN.
36. \( \angle MKN \) — вписанный угол, опирающийся на дугу MN.
37. \( \angle KMP \) — вписанный угол, опирающийся на дугу KP.
38. \( \angle KNP \) — вписанный угол, опирающийся на дугу KP.
39. \( \angle KMP = \angle KNP \).
40. \( \angle MPN \) — вписанный угол, опирающийся на дугу MN. \( \angle MKN \) — вписанный угол, опирающийся на дугу MN. \( \angle MPN = \angle MKN \).
41. Рассмотрим \( \triangle MOK \) и \( \triangle PON \). \( OM = ON = R, OK = OP = R \). \( \angle MOK = \angle PON \) (вертикальные). \( \triangle MOK = \triangle PON \) (по первому признаку). \( MK = PN \).
42. Рассмотрим \( \triangle MOP \) и \( \triangle NOK \). \( OM = ON = R, OP = OK = R \). \( \angle MOP = \angle NOK \) (вертикальные). \( \triangle MOP = \triangle NOK \) (по первому признаку). \( MP = NK \).
43. Так как MN и PK — диаметры, они проходят через центр O.
44. \( \angle MOK = \angle PON \) (вертикальные).
45. \( \angle MOP = \angle NOK \) (вертикальные).
46. \( \triangle MOK \) и \( \triangle PON \) равны, значит MK = PN.
47. \( \triangle MOP \) и \( \triangle NOK \) равны, значит MP = NK.
48. Рассмотрим \( \triangle MKP \) и \( \triangle PNM \).
49. MK = PN (доказано).
50. MP = NK (доказано).
51. MN — общая сторона.
52. \( \triangle MKP = \triangle PNM \) по третьему признаку равенства треугольников.
53. Следовательно, \(
    angle KMP =
    angle MPN \) (соответственные углы).
54. Эти углы являются накрест лежащими при прямых MK и PN и секущей MN.
55. Так как накрест лежащие углы равны, то MK || PN.

Доказано.