3. В окружности с центром О радиусом 3 см проведены диаметр АВ и хорда ВС (см. рис. 169). Найдите ВС, если угол АВС = 60°. Примечание: 1. Выполнить дополнительное построение – АС. 2. Применить изученное на уроке свойство точки, лежащей на окружности. (под каким углом виден диаметр?)

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии. Она несложная, если понять логику.

Дано:

• Окружность с центром O, радиус R = 3 см.
• АВ — диаметр.
• ВС — хорда.
• Угол АВС = 60°.

Найти: Длину хорды ВС.

Решение:

1. Дополнительное построение: Как и сказано в примечании, проведем хорду АС.
2. Свойства окружности:

   Угол АСВ — это вписанный угол, опирающийся на диаметр АВ. А вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой, то есть равен 90°.

   Таким образом, треугольник АВС является прямоугольным.

3. Решение прямоугольного треугольника:

   В прямоугольном треугольнике АВС:

   • Угол АВС = 60° (по условию).
   • Угол АСВ = 90° (так как опирается на диаметр).
   • Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, угол ВАС = 180° - 90° - 60° = 30°.
4. Нахождение стороны ВС:

   Теперь используем тригонометрию для прямоугольного треугольника:

   Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

   sin(ВАС) = ВС / АВ

   Мы знаем, что угол ВАС = 30° и АВ (диаметр) = 2 * R = 2 * 3 см = 6 см.

   sin(30°) = ВС / 6 см

   sin(30°) = 1/2

   1/2 = ВС / 6

   Отсюда, ВС = 6 * (1/2) = 3 см.

Краткий ответ на второй пункт примечания: Диаметр виден под прямым углом (90°) из любой точки окружности, лежащей на окружности, кроме концов самого диаметра.

Ответ: 3 см