3. В окружности с центром в точке О отрезки АС и BD — диаметры. Угол AOD равен 114°. Найдите угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Угол AOD является центральным углом, опирающимся на дугу AD. Следовательно, градусная мера дуги AD равна градусной мере центрального угла AOD, то есть 114°.
• Угол ABD является вписанным углом, опирающимся на дугу AD. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Таким образом, угол ABD = 114° / 2 = 57°.
• Угол AOD и угол BOC являются вертикальными углами, следовательно, угол BOC = угол AOD = 114°.
• Угол BAC является вписанным углом, опирающимся на дугу BC. Градусная мера дуги BC равна градусной мере центрального угла BOC, то есть 114°.
• Угол BDC является вписанным углом, опирающимся на дугу BC. Угол BDC = 114° / 2 = 57°.
• Угол CAD является вписанным углом, опирающимся на дугу CD. Так как AC — диаметр, дуга ADC равна 180°. Следовательно, дуга CD = 180° - дуга AD = 180° - 114° = 66°. Угол CAD = 66° / 2 = 33°.
• Угол ACB является вписанным углом, опирающимся на диаметр AB. Угол, опирающийся на диаметр, является прямым, то есть равен 90°.
• Рассмотрим треугольник AOD. Так как OA и OD — радиусы, треугольник AOD — равнобедренный.
• Угол AOD = 114°. Углы OAD и ODA равны (180° - 114°) / 2 = 66° / 2 = 33°.
• Угол ACB является вписанным углом, опирающимся на дугу AB. Так как AC и BD — диаметры, то точки A, B, C, D лежат на окружности. Угол ACB опирается на дугу AB. Угол AOB является развёрнутым углом (180°), следовательно, дуга AB = 180°.
• Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (дугу AB), равен половине этой дуги, то есть 180°/2 = 90°.
• Альтернативный путь: Угол CAD = 33° (из предыдущего шага). Угол ACD = 33° (так как опирается на дугу AD, а угол AOD = 114°, значит дуга AD = 114°, угол ABD = 57°, угол ACD = 33°).
• Угол ACB = угол ACD + угол BCD.
• Угол BCD опирается на дугу BD. Угол BOD = 180° - 114° = 66°. Значит, дуга BD = 66°. Угол BCD = 66° / 2 = 33°.
• Угол ACB = 33° + 33° = 66°.
• Проверим: В треугольнике ABC, угол BAC = 90° (так как опирается на диаметр BC, нет, AC - диаметр). Угол BCA опирается на диаметр AB? Нет, AC и BD - диаметры.
• Угол ACB опирается на дугу AB. Угол AOB = 180° - 114° = 66°. Значит, дуга AB = 66°. Угол ACB = 66° / 2 = 33°.
• Угол AOD = 114°. Тогда угол BOC = 114° (вертикальные).
• Угол COD = 180° - 114° = 66°. Угол AOB = 66° (вертикальные).
• Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Дуга AB равна центральному углу AOB, то есть 66°.
• Следовательно, угол ACB = 66° / 2 = 33°.

Ответ: 33