3) В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Основанием высоты SO этой пирамиды является середина ребра AB. а) Докажите, что SA = SC. б) Найдите угол между плоскостями (SAC) и (ABC), если AC = 16, AB = 20, SA = 26.

а) Так как SO — высота пирамиды, то SO перпендикулярна плоскости ABC. Следовательно, треугольники SAO и SCO прямоугольные при O. Точка O — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, поэтому O равноудалена от вершин A, B и C: OA = OC. Кроме того, SO — общий катет треугольников SAO и SCO.

По теореме Пифагора: SA² = SO² + OA², SC² = SO² + OC². Из OA = OC следует SA² = SC², а значит, SA = SC.

б) В прямоугольном треугольнике ABC найдём второй катет: BC² = AB² − AC² = 20² − 16² = 144, поэтому BC = 12. Так как O — середина AB, то AO = 10.

Из прямоугольного треугольника SAO: SO² = SA² − AO² = 26² − 10² = 576, следовательно, SO = 24.

Пусть H — основание перпендикуляра из O на AC. Поскольку треугольник ABC прямоугольный, а O — середина гипотенузы AB, проекция O на AC находится на расстоянии половины BC от C: OH = BC/2 = 6. При этом SO перпендикулярна плоскости ABC, поэтому SO ⟂ AC; также OH ⟂ AC. Значит, плоскость SOH перпендикулярна AC и пересекает плоскости SAC и ABC по прямым SH и OH соответственно. Угол между плоскостями равен углу SHO.

В прямоугольном треугольнике SOH: tan ∠SHO = SO/OH = 24/6 = 4. Поэтому ∠SHO = arctan 4 ≈ 75.96°.

Ответ: а) SA = SC; б) угол между плоскостями равен arctan 4 ≈ 76°.