3. В параллелограмме ABCD: AB = 4√2, BC = 17, ∠DAB = 45°, BH ⟂ AD. Найти S_ABCD и AC.

Принимаем отмеченный угол 45° за угол между сторонами AB и AD.

1. Высота параллелограмма: \(BH=AB\sin45°=4\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=4\).

2. Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому AD = BC = 17. Тогда \(S_{ABCD}=AD\cdot BH=17\cdot4=68\).

3. По теореме косинусов для диагонали AC: \(AC^2=AB^2+AD^2+2\cdot AB\cdot AD\cos45°\). Следовательно, \(AC^2=32+289+2\cdot4\sqrt{2}\cdot17\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=457\), значит, \(AC=\sqrt{457}\).

Ответ: S_ABCD = 68; AC = √457.