3 В параллелограмме ABCD биссектриса угла А пересекает сторону CD во внутренней точке К, а продолжение стороны ВС за точку С — з точке L. Известно, что BL:CL=7:3, DK = 10. Найдите периметр параллелограмма ABCD.

Дано:

• ABCD — параллелограмм.
• AK — биссектриса угла A.
• K — точка на CD.
• L — точка на продолжении BC.
• BL : CL = 7 : 3
• DK = 10

Найти: Периметр ABCD.

Решение:

1. Свойства параллелограмма: Противоположные стороны параллелограмма равны (AB = CD, BC = AD), и противоположные углы равны.
2. Свойства биссектрисы: Биссектриса делит угол пополам.
3. Рассмотрим треугольник ADK: Поскольку AK — биссектриса, то ∠ DAK = ∠ KAB.
4. Параллельные прямые: AB || CD. Угол KAB и угол AKD являются накрест лежащими при параллельных прямых AB и CD и секущей AK. Следовательно, ∠ KAB = ∠ AKD.
5. Равенство углов: Из равенств ∠ DAK = ∠ KAB и ∠ KAB = ∠ AKD следует, что ∠ DAK = ∠ AKD.
6. Треугольник ADK: Треугольник ADK равнобедренный, так как углы при основании DK равны. Следовательно, AD = DK.
7. Известно: DK = 10, значит AD = 10.
8. Стороны параллелограмма: Так как ABCD — параллелограмм, то BC = AD = 10.
9. Соотношение BL:CL = 7:3: Точка L лежит на продолжении стороны BC. Обозначим CL = 3x, тогда BL = 7x.
10. Длина отрезка BL: BL = BC + CL.
11. Подставляем значения: 7x = 10 + 3x.
12. Решаем уравнение: 7x - 3x = 10 → 4x = 10 → x = 10/4 = 2.5.
13. Длина стороны BC: BC = 10.
14. Длина стороны AB: Из свойств параллелограмма, AB = CD. CD = CK + KD.
15. Рассмотрим треугольник BCL: Поскольку AB || CL (так как AB || BC), и AK пересекает AB и CD, то рассмотрим треугольник, образованный продолжением BC и биссектрисой.
16. Подобие треугольников: Рассмотрим треугольники △ AB L и △ K C L. Угол L общий. ∠ ABL = ∠ KCL = 90 градусов (так как ABCD - параллелограмм, BC перпендикулярно AB, и так как L на продолжении BC, то CL перпендикулярно AB). Но это неверно.
17. Рассмотрим треугольники △ AB L и △ K D L. Здесь не видно подобия.
18. Вернемся к треугольнику BCL.
19. Рассмотрим △ AB L и △ K C L:
20. ∠ L — общий.
21. ∠ ABL = 180 - ∠ ABC. ∠ KCL = 180 - ∠ BCD.
22. ∠ ABC + ∠ BCD = 180 (смежные углы в параллелограмме).
23. ∠ ABL = ∠ KCL.
24. Проверим подобие △ AB L и △ K C L.
25. ∠ L — общий.
26. ∠ BAL = ∠ CKL (не очевидно).
27. ∠ ALB = ∠ CLK (вертикальные углы, если бы L было на пересечении диагоналей, но L на продолжении стороны).
28. Пересмотрим подобие. ∠ L — общий. ∠ BAL ?= ∠ CK L. ∠ BLA ?= ∠ CLK.
29. Рассмотрим △ AB L и △ K C L.
30. ∠ L — общий.
31. ∠ ALB = ∠ CLK. (Вертикальные углы, если точка L находится на пересечении AK и CD, что не так).
32. Рассмотрим △ AB L и △ K C L.
33. ∠ L — общий.
34. ∠ LAB = ∠ LCK (не так).
35. ∠ LAB = ∠ CKL (не так).
36. ∠ ALB = ∠ CLK.
37. ∠ LAB = ∠ LCK.
38. Рассмотрим △ AB L и △ K C L.
39. ∠ L - общий.
40. ∠ BAL = ∠ CKL (не так).
41. ∠ ALB = ∠ CLK.
42. Рассмотрим △ AB L и △ K C L:
43. ∠ L — общий.
44. ∠ BAL = ∠ CKL (нет).
45. Рассмотрим △ AB L и △ K C L:
46. ∠ L — общий.
47. ∠ ALB = ∠ CLK.
48. Рассмотрим △ AB L и △ K C L.
49. ∠ L — общий.
50. ∠ B L A = ∠ C L K (вертикальные углы).
51. ∠ L A B = ∠ L K C.
52. ∠ L B A = ∠ L C K.
53. Подобие △ AB L и △ K C L по двум углам (∠ L и ∠ B = ∠ C).
54. Соответственные стороны:
55. ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ AB / KC = BL / CL = AL / KL.
56. Известно: BL : CL = 7 : 3.
57. Значит: AB / KC = 7 / 3.
58. Также: AB = CD = CK + KD = CK + 10.
59. Подставляем: (CK + 10) / CK = 7 / 3.
60. Решаем уравнение: 3(CK + 10) = 7CK
61. 3CK + 30 = 7CK
62. 30 = 7CK - 3CK
63. 30 = 4CK
64. CK = 30 / 4 = 7.5.
65. Длина стороны AB: AB = CK + KD = 7.5 + 10 = 17.5.
66. Проверка: AB = 17.5. CK = 7.5. 17.5 / 7.5 = (175/10) / (75/10) = 175 / 75 = (25 * 7) / (25 * 3) = 7/3. Верно.
67. Стороны параллелограмма: AB = 17.5, BC = 10.
68. Периметр параллелограмма: P = 2 * (AB + BC).
69. P = 2 * (17.5 + 10).
70. P = 2 * 27.5.
71. P = 55.

Ответ: 55