3. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, величина которого равна 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 2.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Так как \(\angle A = 60°\), биссектриса \(AM\) образует с боковой стороной угол \(30°\).

Пусть \(AD = BC = x\). Из условия пересечения биссектрисы со стороной \(BC\) получаем \(BM = AB = 2\).

Тогда координаты можно выбрать так, чтобы:

\(A(0,0)\), \(B(2,0)\), \(D\left(\frac{x}{2},\frac{\sqrt3x}{2}\right)\), \(M(3,\sqrt3)\).

Вектор \(AM = (3,\sqrt3)\), а вектор \(DM = \left(3-\frac{x}{2},\sqrt3-\frac{\sqrt3x}{2}\right)\).

Так как \(AM \perp DM\), их скалярное произведение равно нулю:

\[3\left(3-\frac{x}{2}\right)+\sqrt3\left(\sqrt3-\frac{\sqrt3x}{2}\right)=0.\]

\[9-\frac{3x}{2}+3-\frac{3x}{2}=0,\]

\[12-3x=0,\quad x=4.\]

Следовательно, \(AD=4\). Периметр:

\[P=2(AB+AD)=2(2+4)=12.\]

Ответ: 12.