3. В параллелограмме ABCD диагональ АС перпендикулярна стороне CD. Найдите тупой угол между диагоналями, если диагонали АС и BD равны 6 см и 6√2 см соответственно.

Решение:

В параллелограмме ABCD диагональ AC перпендикулярна стороне CD, что означает, что угол \( \angle ACD = 90^{\circ} \). Следовательно, \( \triangle ACD \) — прямоугольный.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Пусть O — точка пересечения диагоналей.

Тогда \( AO = OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} = 3 \text{ см} \).

И \( BO = OD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \text{ см} = 3\sqrt{2} \text{ см} \).

Рассмотрим \( \triangle OCD \). У нас есть:

• \( OC = 3 \text{ см} \)
• \( OD = 3\sqrt{2} \text{ см} \)
• \( \angle OCD = 90^{\circ} \) (так как \( AC \perp CD \))

Мы можем найти \( CD \) по теореме Пифагора в \( \triangle OCD \):

\[ CD^2 = OD^2 - OC^2 = (3\sqrt{2})^2 - 3^2 = (9 \cdot 2) - 9 = 18 - 9 = 9 \]

\[ CD = \sqrt{9} = 3 \text{ см} \]

Теперь рассмотрим \( \triangle OCD \) как прямоугольный треугольник. Мы знаем длины всех сторон.

Мы ищем тупой угол между диагоналями, то есть \( \angle DOC \) или \( \angle AOB \) (вертикальные углы) или \( \angle BOC \) или \( \angle AOD \) (вертикальные углы).

В \( \triangle OCD \):

\( \cos(\angle DOC) = \frac{OC}{OD} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Это означает, что \( \angle DOC = 45^{\circ} \). Этот угол острый.

Тупой угол между диагоналями — это смежный угол к \( \angle DOC \), то есть \( \angle BOC \) или \( \angle AOD \).

\( \angle BOC = 180^{\circ} - \angle DOC = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} \).

Ответ: 135°.