3. В параллелограмме ABCD на сторонах CD и AD отмечены точки P и K так, что CP:PD=2:3, AK:KD=1:2. Выразите векторы CK и PK через \(\vec a=\overrightarrow{BA}\) и \(\vec b=\overrightarrow{BC}\).

Положим B за начало отсчёта. Тогда радиус-векторы вершин: A — \(\vec a\), C — \(\vec b\), D — \(\vec a+\vec b\).

1. Из отношения \(CP:PD=2:3\) следует, что \(\overrightarrow{CP}=\frac25\overrightarrow{CD}=\frac25\vec a\). Значит, положение P задаётся вектором \(\vec b+\frac25\vec a\).
2. Из отношения \(AK:KD=1:2\) получаем \(\overrightarrow{AK}=\frac13\overrightarrow{AD}=\frac13\vec b\). Значит, положение K задаётся вектором \(\vec a+\frac13\vec b\).
3. Вычитаем радиус-вектор C из радиус-вектора K: \(\overrightarrow{CK}=\vec a+\frac13\vec b-\vec b=\vec a-\frac23\vec b\).
4. Вычитаем радиус-вектор P из радиус-вектора K: \(\overrightarrow{PK}=\vec a+\frac13\vec b-\left(\vec b+\frac25\vec a\right)=\frac35\vec a-\frac23\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{CK}=\vec a-\frac23\vec b\), \(\overrightarrow{PK}=\frac35\vec a-\frac23\vec b\).