3. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны CD, N — точка на стороне AD такая, что AN : ND как 1 : 2. Выразите векторы CN и MN через векторы \(b=BC\) и \(a=BA\).

Обозначим начало отсчёта точкой A. Тогда \(\overrightarrow{AB}=-a\), поскольку \(a=\overrightarrow{BA}\), а \(\overrightarrow{AD}=b\), поскольку в параллелограмме \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).

1. Из отношения \(AN:ND=1:2\) следует, что N делит AD в отношении 1 к 2, считая от A: \(\overrightarrow{AN}=\frac13b\).
2. Для параллелограмма \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=-a+b\). Поэтому
   \(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}=-( -a+b)+\frac13b=a-\frac23b\).
3. Так как M — середина CD, а \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=-a\), имеем \(\overrightarrow{DM}=-\frac12a\). Следовательно, \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}=b-\frac12a\).
4. Тогда \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=-(b-\frac12a)+\frac13b=\frac12a-\frac23b\).

Ответ: \(\overrightarrow{CN}=a-\frac23b\), \(\overrightarrow{MN}=\frac12a-\frac23b\).