3) В параллелограмме диагонали равны. Докажите, что это прямоугольник.

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором диагонали равны: \(AC = BD\).

1. В треугольниках ABC и BAD стороны попарно равны: \(AB = BA\) — общая сторона, \(BC = AD\) как противоположные стороны параллелограмма, \(AC = BD\) по условию.
2. Следовательно, треугольники ABC и BAD равны по трём сторонам, поэтому \(\angle ABC = \angle BAD\).
3. Соседние углы параллелограмма в сумме равны \(180^\circ\). Равные соседние углы имеют величину \(180^\circ : 2 = 90^\circ\).
4. Значит, у параллелограмма есть прямой угол. Следовательно, все его углы прямые, и ABCD — прямоугольник.

Что и требовалось доказать.