3. В параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла MKP, которая пересекает сторону MN в точке E. А) Докажите, что треугольник KME равнобедренный. Б) Найдите сторону KP, если ME = 10, а периметр параллелограмма равен 52 см.

А) Так как в параллелограмме противоположные стороны параллельны, то MN ∥ KP. Поэтому угол KEM равен углу между биссектрисой KE и прямой KP. Поскольку KE — биссектриса угла MKP, этот угол равен половине угла MKP.

Угол MKE также равен половине угла MKP, так как KE — биссектриса. Следовательно, ∠MKE = ∠KEM, а против равных углов лежат равные стороны: KM = ME. Значит, треугольник KME равнобедренный.

Б) Из пункта А: KM = ME = 10 см. Периметр параллелограмма равен 2(KM + KP), поэтому:

2(10 + KP) = 52,

10 + KP = 26,

KP = 16 см.

Ответ: А) KM = ME, поэтому треугольник KME равнобедренный; Б) KP = 16 см.