3) В параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла MKP, которая пересекает сторону MN в точке E. Докажите, что треугольник KME — равнобедренный; найдите сторону KP, если ME равна 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

Так как KE — биссектриса угла MKP, \(\angle MKE=\angle EKP\). Поскольку MN ∥ KP, а точки M и E лежат на MN, углы \(\angle KEM\) и \(\angle EKP\) равны как накрест лежащие при секущей KE.

Следовательно, \(\angle MKE=\angle KEM\), поэтому противоположные этим углам стороны равны: KM = ME. Значит, треугольник KME равнобедренный с основанием KE. Так как ME = 10 см, KM = 10 см.

Периметр параллелограмма равен \(2(KM+KP)=52\), поэтому KM + KP = 26. Тогда KP = 26 − 10 = 16 см.

Ответ: треугольник KME равнобедренный, KM = ME; KP = 16 см.