3. В параллелограмме RMPN проведена биссектриса угла MRP, которая пересекает сторону MN в точке F. а) Докажите, что треугольник RMF равнобедренный. б) Найдите сторону RP, если MF = 8 см, а периметр параллелограмма равен 64 см.

а) Так как точка F лежит на стороне MN, а в параллелограмме MN ∥ RP, то MF ∥ RP. Следовательно, ∠RMF = ∠MRP. По условию RF — биссектриса угла MRP, поэтому ∠MRF = ∠FRP. Так как MF ∥ RP, углы ∠FRP и ∠RFM равны как накрест лежащие.

Значит, ∠MRF = ∠RFM, поэтому противоположные им стороны равны: RM = MF. Следовательно, треугольник RMF равнобедренный.

б) Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме двух соседних сторон. Противоположные стороны равны, поэтому RM = PN и MN = RP.

Из пункта а): RM = MF = 8 см. Тогда

\(2(RM+RP)=64\),

\(2(8+RP)=64\),

\(8+RP=32\),

\(RP=24\) см.

Ответ: а) RM = MF, поэтому треугольник RMF равнобедренный; б) RP = 24 см.