3. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°. Сторона основания пирамиды равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды

Краткая запись:

• Пирамида: правильная четырехугольная
• Угол между боковым ребром и плоскостью основания: 45°
• Сторона основания (a): 8 см
• Найти: Площадь боковой поверхности (Sбок.) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем радиус вписанной окружности основания.
   В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Радиус вписанной окружности квадрата равен половине его стороны: \( r = a / 2 \).
   \[ r = 8 \text{ см} / 2 = 4 \text{ см} \]
2. Шаг 2: Найдем апофему пирамиды (h_a).
   Апофема, боковое ребро и радиус вписанной окружности основания образуют прямоугольный треугольник. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°. В этом треугольнике апофема является прилежащим катетом к этому углу, а радиус — противолежащим.
   Используем тангенс угла: \( \text{tg}(45°) = r / h_a \).
   Так как \( \text{tg}(45°) = 1 \), то \( 1 = 4 \text{ см} / h_a \).
   Отсюда, \( h_a = 4 \text{ см} \).
3. Шаг 3: Найдем периметр основания (P).
   Периметр квадрата равен:
   \[ P = 4 × a = 4 × 8 \text{ см} = 32 \text{ см} \]
4. Шаг 4: Найдем площадь боковой поверхности.
   Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле:
   \[ S_{бок.} = \frac{1}{2} × P × h_a \]
   \[ S_{бок.} = \frac{1}{2} × 32 \text{ см} × 4 \text{ см} = 64 \text{ см}^2 \]

Ответ: 64 см²