3. В правильной шестиугольной призме A…F₁, все рёбра которой равны 1, найдите площадь сечения, проходящего через вершины B, C и E₁.

Расположим нижнее основание в плоскости z=0, а верхнее — в плоскости z=1. Возьмём координаты вершин основания правильного шестиугольника: A=(0,0), B=(1,0), C=(3/2,√3/2), D=(1,√3), E=(0,√3), F=(−1/2,√3/2).

Плоскость через B, C и E₁, где E₁=(0,√3,1), имеет уравнение \(\sqrt3x+y-\sqrt3z=\sqrt3\).

На нижнем основании эта плоскость пересекает основание по отрезку BC. На боковых рёбрах она проходит через точки B и C, а также через середины рёбер AA₁ и FF₁ и через вершину E₁. Итак, сечение — пятиугольник B–C–C₁–E₁–A₁′, где A₁′ и F₁′ — середины AA₁ и FF₁ соответственно; фактически граница сечения идёт B–C–E₁–F₁′–A₁′–B.

Уточним пересечения: на ребре CC₁ плоскость встречает его в C, а на ребре EE₁ — в E₁; середины рёбер AA₁ и FF₁ также лежат в плоскости. Поэтому сечение имеет вершины B, C, E₁, середину FF₁ и середину AA₁.

Площадь многоугольника вычисляется по координатам его вершин (формула Гаусса) и равна \(\frac{3\sqrt3}{4}\).

Ответ: \(\frac{3\sqrt3}{4}\).