3.В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 2√3 см, а высота равна 2 см. Найти угол наклона бокового ребра плоскости основания, объём пирамиды. Ответ запишите в градусах

Дано:

• Правильная треугольная пирамида
• Сторона основания a = 2√3 см
• Высота пирамиды H = 2 см

Найти:

• Угол наклона бокового ребра к плоскости основания (в градусах)
• Объем пирамиды (V)

Решение:

1. Объем пирамиды (V):

   Формула объема пирамиды: $$ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot H $$

   Площадь основания (S_осн):

   Основание – правильный треугольник со стороной a = 2√3 см.

   $$ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (2\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (4 \cdot 3) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12 = 3\sqrt{3} \text{ см}^2 $$

   Объем пирамиды:

   $$ V = \frac{1}{3} \cdot (3\sqrt{3}) \cdot 2 = \sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3} \text{ см}^3 $$

2. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания:

   В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания. Для правильного треугольника центр – это точка пересечения медиан (и биссектрис, и высот).

   Пусть O – центр основания, H = 2 см – высота пирамиды (SH, где S – вершина).

   Пусть M – середина стороны основания BC. Тогда AM – медиана, и O лежит на AM. BO – радиус описанной окружности вокруг основания.

   Радиус описанной окружности для правильного треугольника со стороной 'a': $$ R = \frac{a}{\sqrt{3}} $$

   $$ R = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \text{ см} $$

   Угол наклона бокового ребра SB к плоскости основания – это угол между ребром SB и его проекцией на основание, которая является радиусом описанной окружности R (SB'). Однако, в условии задачи, возможно, имеется в виду угол наклона боковой грани к основанию, который ищется через апофему. Но просят угол бокового ребра. Это угол ∠SBO.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник SBO (угол O = 90°).

   $$ an(\angle SBO) = \frac{SO}{BO} = \frac{H}{R} $$

   $$ an(\angle SBO) = \frac{2}{2} = 1 $$

   Угол, тангенс которого равен 1, равен 45°.

   $$ \angle SBO = \arctan(1) = 45° $$

Ответ:

• Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 45°.
• Объем пирамиды равен 2√3 см³.