3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра которой равны 1, найдите площадь сечения, проходящего через середины рёбер AA₁, BB₁ и B₁C₁.

Введём координаты: A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1/2,√3/2,0), а верхнее основание расположим на высоте 1.

Обозначим через P, Q и R середины AA₁, BB₁ и B₁C₁ соответственно. Тогда P=(0,0,1/2), Q=(1,0,1/2), R=(3/4,√3/4,1). Плоскость через эти точки имеет уравнение z−√3y=1/2.

Она пересекает ребро A₁C₁ в точке S=(1/3,√3/6,1). Следовательно, сечение — четырёхугольник PQRS.

Его площадь найдём как сумму площадей треугольников PQR и PRS. Векторная сумма удвоенных ориентированных площадей этих треугольников равна (−√3/12, −1/3, (9−√3)/12). Поэтому площадь сечения равна половине длины этого вектора:

\[S=\frac12\sqrt{\frac{3}{144}+\frac19+\frac{(9-\sqrt3)^2}{144}}=\frac{\sqrt{48-18\sqrt3}}{12}.\]

Ответ: \(\dfrac{\sqrt{48-18\sqrt3}}{12}\).