3. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см., а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол 60 °. 4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение (Задача 3):

Пусть стороны основания параллелепипеда равны \( a = 3 \) см и \( b = 5 \) см. Пусть диагональ основания \( d_1 = 4 \) см. Нам нужно найти большую диагональ параллелепипеда \( D \).

Для нахождения диагонали основания, применим теорему косинусов к треугольнику со сторонами 3, 5 и диагональю 4. Пусть угол между сторонами 3 и 5 равен \( \alpha \). Тогда:

\( d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\alpha) \)

\( 4^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\alpha) \)

\( 16 = 9 + 25 - 30 \cdot \cos(\alpha) \)

\( 16 = 34 - 30 \cdot \cos(\alpha) \)

\( 30 \cdot \cos(\alpha) = 34 - 16 = 18 \)

\( \cos(\alpha) = \frac{18}{30} = 0.6 \)

Теперь найдем вторую диагональ основания \( d_2 \) по теореме косинусов:

\( d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(180^\cdot - \cdot \cdot\cdot \alpha) \)

\( d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cdot \cos(\alpha) \)

\( d_2^2 = 3^2 + 5^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 0.6 \)

\( d_2^2 = 9 + 25 + 18 = 52 \)

\( d_2 = \sqrt{52} = 2\cdot\sqrt{13} \) см.

Пусть высота параллелепипеда равна \( h \). Меньшая диагональ параллелепипеда \( D_{min} \) образует с плоскостью основания угол 60°.

В прямоугольном треугольнике, образованном меньшей диагональю параллелепипеда, меньшей диагональю основания и высотой:

\( \tan(60^\cdot) = \frac{h}{d_2} \)

\( h = d_2 \cdot \tan(60^\cdot) = 2\cdot\sqrt{13} \cdot \sqrt{3} = 2\cdot\sqrt{39} \) см.

Большая диагональ параллелепипеда \( D_{max} \) находится по формуле:

\( D_{max}^2 = d_2^2 + h^2 \)

\( D_{max}^2 = (2\cdot\sqrt{13})^2 + (2\cdot\sqrt{39})^2 \)

\( D_{max}^2 = 52 + 4 \cdot 39 = 52 + 156 = 208 \)

\( D_{max} = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\cdot\sqrt{13} \) см.

Решение (Задача 4):

Многогранник состоит из двух частей: прямоугольного параллелепипеда и ступенчатой пристройки. Все двугранные углы прямые.

Размеры на рисунке:

• Большой параллелепипед: длина 6, ширина 5, высота 5.
• Выступ: длина 4, ширина 3, высота 3.

Площадь поверхности многогранника равна сумме площадей его граней.

Большой параллелепипед (основание 6x5, высота 5):

Площадь основания = \( 6 \cdot 5 = 30 \) (нижняя грань). Верхняя грань также 30.

Площадь боковых граней: \( 2 \cdot (6 \cdot 5) + 2 \cdot (5 \cdot 5) = 2 \cdot 30 + 2 \cdot 25 = 60 + 50 = 110 \).

Ступенчатая пристройка:

Размеры выступа:

• Нижняя часть выступа: длина 4, ширина 3, высота 3.
• Верхняя часть выступа: длина 4, ширина 3, высота 3.

Грани выступа:

• Нижняя грань выступа (частично перекрыта): \( 4 \cdot 3 = 12 \).
• Верхняя грань выступа: \( 4 \cdot 3 = 12 \).
• Боковые грани выступа: \( 2 \cdot (4 \cdot 3) + 2 \cdot (3 \cdot 3) = 2 \cdot 12 + 2 \cdot 9 = 24 + 18 = 42 \).

Общая площадь поверхности:

Учитывая, что некоторые грани перекрываются, будем считать площади по частям:

1. Площадь нижней грани большого параллелепипеда: \( 6 \cdot 5 = 30 \).

2. Площадь видимой части верхней грани большого параллелепипеда: \( (6-4) \cdot 5 + 4 \cdot (5-3) = 2 \cdot 5 + 4 \cdot 2 = 10 + 8 = 18 \).

3. Площадь боковых граней большого параллелепипеда: \( 2 \cdot (6 \cdot 5) + 2 \cdot (5 \cdot 5) = 60 + 50 = 110 \).

4. Площадь нижней грани выступа (ступеньки): \( 4 \cdot 3 = 12 \).

5. Площадь верхней грани выступа: \( 4 \cdot 3 = 12 \).

6. Площадь боковых граней выступа: \( 2 \cdot (4 \cdot 3) + 2 \cdot (3 \cdot 3) = 24 + 18 = 42 \).

Общая площадь = \( 30 + 18 + 110 + 12 + 12 + 42 = 224 \) см².

Ответ: Большая диагональ параллелепипеда равна \( 4\cdot\sqrt{13} \) см. Площадь поверхности многогранника равна 224 см².