3. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Найдите периметр треугольника AOB, если ∠CAD = 30°, AC = 12 см.

Так как диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, получаем \(AO=\frac{AC}{2}=6\) см и \(BO=\frac{BD}{2}=6\) см.

Угол \(CAD=30^\circ\), а угол \(DAB=90^\circ\), поэтому \(CAB=90^\circ-30^\circ=60^\circ\). Точка O лежит на диагонали AC, значит \(\angle OAB=60^\circ\).

В треугольнике AOB стороны \(AO=BO\), следовательно, противоположные им углы равны: \(\angle OAB=\angle ABO=60^\circ\). Тогда и третий угол равен 60°, поэтому треугольник равносторонний и \(AB=6\) см.

Периметр: \(P_{AOB}=AO+BO+AB=6+6+6=18\) см.

Ответ: 18 см.